കേട്ടിട്ടുണ്ടോ മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പ്

അമ്മുവും അനുവും പ്രവൃത്തിപരിചയമേളയ്ക്കുവേണ്ടി വർണക്കടലാസുകൾ പല ആകൃതികളിൽ വെട്ടിയെടുത്ത് പൂക്കളും മറ്റു കൗതുകവസ്തുക്കളും ഉണ്ടാക്കുന്ന തിരക്കിലാണ്. ഒരേക്ലാസിലാണ് രണ്ടുപേരും. അടുത്തടുത്ത വീടുകളിലാണ് താമസം. അനുവിന്റെ ചേച്ചി മീനുവിന്, നിലത്ത് ചിതറിക്കിടക്കുന്ന പലനിറത്തിലും വലുപ്പത്തിലും ആകൃതിയിലുമുള്ള കടലാസുകഷണങ്ങൾ കണ്ടപ്പോൾ ഒരു കുസൃതിതോന്നി. അവൾ അതിൽനിന്ന് വീതികുറഞ്ഞ് നീളംകൂടിയ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു കടലാസെടുത്ത് അഗ്രങ്ങൾ ചേർത്തൊട്ടിച്ചശേഷം അമ്മുവിനോടും അനുവിനോടുമായി ചോദിച്ചു: ‘‘ഞാനിതിന്റെ വീതിഭാഗത്തിന്റെ മധ്യത്തിലൂടെ ചുറ്റുംമുറിച്ചാൽ എന്തുസംഭവിക്കുമെന്ന് പറയാമോ?’’
രണ്ട് വൃത്തവളയങ്ങൾ കിട്ടും. അമ്മുവും അനുവും ഒരുമിച്ചാണ് ഉത്തരംപറഞ്ഞത്. നമുക്ക് നോക്കാമെന്നുപറഞ്ഞ് മീനു ഒരു കത്രികയുപയോഗിച്ച് അവളുടെ കൈവശമുണ്ടായിരുന്ന രൂപത്തിന്റെ വീതിയുടെ മധ്യത്തിലൂടെ മുറിച്ചു. അത് രണ്ടു വൃത്തവളയങ്ങളായി മുറിയുന്നതിന് പകരം ആദ്യത്തേതിന്റെ ഇരട്ടിവലുപ്പമുള്ള ഒരു രൂപമായി മാറുകയാണ് ചെയ്തത്.
‘‘അയ്യോ ചേച്ചീ, ഇതെങ്ങനെയാണ്? ഞങ്ങൾക്കും പറഞ്ഞുതരുമോ?’’ അവർ ചോദിച്ചു.
അതിനെന്താ, പറഞ്ഞുതരാമല്ലോമെന്ന് പറഞ്ഞ് മീനു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു കടലാസെടുത്ത് അമ്മുവിനോട് അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം എത്രയെന്ന് പറയാൻ ആവശ്യപ്പെട്ടു.
‘‘രണ്ട്’’ -അമ്മു പറഞ്ഞു.
‘‘എത്ര വക്കുകളുണ്ട് അനൂ?’’
‘‘നാല് വക്കുകൾ’’
‘‘അതെ, ശരിയാണ്. ഈ കടലാസിന് നാല് വക്കുകളും രണ്ട് വശങ്ങളുമാണുള്ളത്. ഇതിന്റെ നടുവിലൂടെ നീളത്തിൽ ഒരു രേഖ വരച്ചാൽ കടലാസിന്റെ വക്കു കടന്നുപോവാതെ മറുഭാഗത്ത് വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കുമോ?’’ രണ്ടുപേരും ഓരോ കടലാസുകൾ എടുത്ത് വരച്ചുനോക്കൂ.
‘‘മറുഭാഗത്ത് വര എത്തണമെങ്കിൽ കടലാസ് തിരിച്ചിട്ടാൽമാത്രമേ സാധിക്കൂ, അല്ലാതെ സാധ്യമല്ല’’ അനുവും അമ്മുവും പറഞ്ഞു.
ഇനി നമുക്കിതിനെ ഒരു വളയമാക്കിയാലോ എന്ന് പറഞ്ഞ് മീനു തന്റെ കൈയിലുള്ള ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കടലാസ് വളച്ച് അഗ്രങ്ങൾ ചേർത്തൊട്ടിച്ചു. ഇപ്പോൾ നോക്കൂ, ഇതൊരു വൃത്തവളയത്തിന്റെ ആകൃതിയായില്ലേ? ഇതിന് എത്ര വശങ്ങളും വക്കുകളുമാണുള്ളത്?’’
‘‘രണ്ട് വശങ്ങളും രണ്ടു വക്കുകളും.’’
അമ്മുവും അനുവും പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്. ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഓരോ കടലാസുകഷണങ്ങളെടുത്ത് രണ്ടുപേരും ഓരോ വൃത്തവളയങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കിനോക്കൂ. അതിനുശേഷം വൃത്തവളയത്തിന്റെ ഒരുവശത്തുകൂടി (പ്രതലം) പെൻസിലുപയോഗിച്ച് വരച്ചുനോക്കിയാൽ വക്കുകൾ കടക്കാതെ മറുവശത്ത് വരയ്ക്കാൻസാധിക്കുമോയെന്ന് നോക്കൂ.
‘‘സാധിക്കുന്നില്ലല്ലോ ചേച്ചീ’’
‘‘ശരി, ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ കൈവശമുള്ള വൃത്തവളയത്തിന്റെ ഒരുവശത്തുകൂടി വരച്ച വര, വക്കുകൾ കടക്കാതെ മറുവശത്ത് എത്തുന്നില്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലായില്ലേ. മാത്രമല്ല അതിന്റെ വീതിയുടെ മധ്യഭാഗത്തുകൂടി ഒരു കത്രികയുപയോഗിച്ച് ചുറ്റും മുറിച്ചാൽ രണ്ട് വൃത്തവളയങ്ങളാണ് ലഭിക്കുകയെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അറിയുകയുംചെയ്യാം’’ -മീനു പറഞ്ഞു.
‘‘ശരിയാണ് ചേച്ചീ’’
തുടക്കത്തിൽ ഞാൻ ചെയ്ത പ്രവർത്തനം എങ്ങനെയാണെന്ന് ഇനി പറഞ്ഞുതരാം. ‘‘സാധാരണയായി നമ്മളുണ്ടാക്കാറുള്ള വൃത്തവളയങ്ങളിൽനിന്ന് വ്യത്യസ്തമായാണ് ഞാനതിന്റെ അഗ്രങ്ങൾ ചേർത്തൊട്ടിച്ചത്. വീതികുറഞ്ഞ് നീളമുള്ള ദീർഘചതുരാകൃതിയായ കടലാസുകഷണമാണ് അതിനായി ഞാൻ തിരഞ്ഞെടുത്തത്. കടലാസിന്റെ ഒരഗ്രം പിടിച്ച് 180 ഡിഗ്രിയിൽ തിരിച്ചശേഷം രണ്ട്‌ അഗ്രങ്ങളും ചേർത്ത് ഇതുപോലെ ഒട്ടിക്കുകയാണ് ചെയ്തത്. നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കാണുന്നപോലുള്ള രൂപമായിരുന്നു ആദ്യം ഞാനുണ്ടാക്കിയത്.
ഈ രൂപത്തിന്റെ വക്കുകളുടെയും വശങ്ങളുടെ എണ്ണം എത്രയാണ്?’’
രണ്ട് വശങ്ങളും രണ്ടു വക്കുകളുമുണ്ടല്ലോ എന്നായിരുന്നു അമ്മുവിന്റെയും അനുവിന്റെയും മറുപടി.
നിങ്ങൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണോയെന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിച്ചുനോക്കിയാലോ? ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കണേ രണ്ടുപേരും. ഞാൻ ഒരു പെൻസിലുപയോഗിച്ച് ഈ രൂപത്തിന്റെ ഒരു വശത്തുകൂടി വരയ്ക്കുകയാണ്. വക്കുകടക്കാതെതന്നെ മറുഭാഗത്ത് വര എത്തുമോ എന്ന് നോക്കാം. ഒരു വശത്തുനിന്ന് തുടങ്ങിയ വര എത്തിനിന്നത് ആരംഭിച്ച അതേ സ്ഥലത്തുതന്നെയാണ്. ഒരു വക്കും കടക്കാതെ കടലാസിന്റെ എല്ലാവശത്തും വര എത്തിയില്ലേയെന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിച്ചുനോക്കൂ.
‘‘ശരിയാണല്ലോ ചേച്ചീ. ഒരു വക്കും കടക്കാതെ തന്നെ കടലാസിന്റെ എല്ലാവശത്തും (പ്രതലം) വര എത്തിയല്ലോ. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ സംശയം ഈ രൂപത്തിന് ഒരുവശം മാത്രമാണോയുള്ളത് എന്നാണ്‌.’’
അതെ, ഈ രൂപത്തിന് ഒരുവശം മാത്രമാണുള്ളത്. ഞാൻ പറഞ്ഞുതരാതെതന്നെ നിങ്ങളത് മനസ്സിലാക്കിയതിൽ അഭിനന്ദനങ്ങൾ!’’
‘‘അപ്പോൾ വക്കുകളുടെ എണ്ണമോ?’’ അമ്മുവാണ് ചോദിച്ചത്.
‘‘ഒരു കാര്യം ചെയ്യൂ. രണ്ടുപേരും ഞാൻ ഉപയോഗിച്ച അതേ ആകൃതിയിലുള്ള ഓരോ കടലാസുകളെടുത്ത് ഒരറ്റം 180 ഡിഗ്രിയിൽ തിരിച്ച് അഗ്രങ്ങൾ ചേർത്തൊട്ടിച്ചശേഷം അതിന്റെ വക്കിലൂടെ ഒന്ന് കൈവിരലോടിച്ചുനോക്കൂ. എന്താണ് കണ്ടെത്തിയതെന്ന് പറയൂ. തെറ്റിപ്പോവാതിരിക്കാൻ വക്കിൽ ഒരടയാളം വെച്ചാൽ മതി.’’
‘‘ഹായ്, തുടങ്ങിയ സ്ഥലത്തുതന്നെ തിരിച്ചെത്തിയല്ലോ! ഇതിന്റെ എല്ലാ വക്കുകളിലും കൂടിയാണ് വിരൽ കടന്നുപോവുന്നത്. അതിനാൽ ഈ രൂപത്തിന് ഒരു വക്കുമാത്രമാണുള്ളത് അല്ലേ ചേച്ചീ.’’
അതെ, ഒരുവശവും ഒരു വക്കും മാത്രമുള്ള രൂപമാണിത്. തീർന്നില്ല, ഒരു പ്രവർത്തനവുംകൂടി ചെയ്യാനുണ്ട്. ഒരു പെൻസിലുപയോഗിച്ച് ഈ രൂപത്തിന്റെ വീതിയുടെ മധ്യത്തിൽകൂടി വരയ്ക്കുക. അതിനുശേഷം നിങ്ങൾ വരച്ച വരയിലൂടെ കത്രികയുപയോഗിച്ച് മുറിച്ചാൽ എന്താണ് സംഭവിക്കുകയെന്നുകൂടി ഒന്ന് പരീക്ഷിച്ചുനോക്കൂ’’ -മീനു പറഞ്ഞു. ‘‘ഞങ്ങളുടെ കൈയിൽ ആദ്യമുണ്ടായിരുന്ന രൂപത്തിന്റെ ഇരട്ടിവലുപ്പമുള്ള ഒരു രൂപമാണ് ലഭിച്ചത്. അതിശയകരമായിരിക്കുന്നു ചേച്ചീ.
തീർച്ചയായും അതിശയകരം തന്നെയാണ്’’ -മീനുപറഞ്ഞു. ‘മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പ്’ എന്നപേരിൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രതലമാണ് ദീർഘചതുരാകൃതിയായ കടലാസ് ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ നിർമിച്ചത്. ഒരു വശവും ഒരു വക്കും മാത്രമേ ഉണ്ടായിരിക്കുകയുള്ളൂ എന്നതാണ് മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പിന്റെ പ്രത്യേകത. ജർമൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ അഗസ്റ്റ് ഫെർഡിനാഡ് മോബിയസും (AUGUST FERDINAD MOBIUS) മറ്റൊരു ജർമൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന ജോഹാൻ ബെനഡിക്ട് ലിസ്റ്റിങുമാണ് (JOHANN BENEDICT LISTING) 1858-ൽ ഈ സവിശേഷത കണ്ടെത്തിയത്. എന്നാൽ, സി.ഇ. മൂന്നാംനൂറ്റാണ്ടുമുതൽ റോമൻ മൊസൈക്കുകളിൽ ഈ രൂപം കാണപ്പെട്ടിരുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു. മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പിന്റെ അസാധാരണമായ പ്രത്യേകതകളും ജ്യാമിതീയസവിശേഷതകളും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാർ, എൻജിനിയർമാർ, വാസ്തുശില്പികൾ, പരിസ്ഥിതിപ്രവർത്തകർ, കലാകാരന്മാർ എന്നീ വിഭാഗങ്ങളെയെല്ലാം എക്കാലത്തും ആകർഷിച്ചിട്ടുണ്ട്. മാത്രമല്ല, റീസൈക്ലിങ് ചിഹ്നത്തിന്റെ രൂപകല്പനയിൽപ്പോലും മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നുണ്ട്.